Юрий Николаевич родился 21 ноября 1932 года в Москве, в семье музыкантов — его отец был флейтистом, артистом оркестра Московской филармонии, а мать — пианисткой. Музыкальное образование Должиков Ю.Н. получил на духовом отделении Музыкального училища при Московской консерватории (по классу Д. Г. Харкеевича), которое окончил в 1953 г., после чего поступил в Московскую консерваторию (по классу Н. И. Платонова).
Кроме того, Юрий Николаевич совершенствовал своё флейтовое мастерство под руководством легендарных зарубежных исполнителей — так, в 1975 году Должиков Ю.Н. стажировался в Национальной Парижской Консерватории у профессора Жана-Пьера Рампаля и у него же окончил летнюю Интернациональную академию в Ницце.
В
Ю.Н.Должиков вёл активнейшую преподавательскую деятельность — он работал в Первом Московском областном музыкальном училище г. Коломна (1960-63г.), затем, с 1963 года являлся преподавателем и заведующим отделением духовых инструментов ЦМШ при Московской консерватории, с 1964 года — преподавал на кафедре духовых и ударных инструментов Московской консерватории (с 1985 года — профессор), кроме того, с 1992 года Юрий Николаевич также преподавал в Музыкальном училище при Московской консерватории. Среди его знаменитых учеников — Александр Голышев, Денис Буряков, Марина Ворожцова, Ольга Ивушейкова и многие другие.
Мнение Юрия Николаевича высоко ценилось не только в нашей стране, но и в международном музыкальном сообществе — его регулярно приглашали на авторитетные конкурсы, он неоднократно был членом жюри международных конкурсов во Франции (Париж, 1971, 1980, 1983 годы), Германии (Мюнхен, 1979г.), Венгрии (Будапешт, 1980г.), России (Москва, 1994).
Юрий Николаевич Должиков — легенда российской музыкальной педагогики, за время его более чем сорокалетней карьеры он поднял уровень флейтового исполнения на совершенно новую высоту, разработав авторскую методику игры на флейте. Даже сегодня, слушая флейтовое соло в российском симфоническом оркестре или театре, можно почти наверняка утверждать, что оно исполнено воспитанником Юрия Николаевича.