Гаццеллони родился 5 января 1919 года в провинции Фрозиноне, Италия. Когда Северино было 7 лет, его отец принёс домой радиоприёмник, и этим же вечером мальчик услышал соль-минорный концерт Моцарта для флейты с оркестром, после чего мечтой юного Гаццеллони стала игра на флейте. Обучение началось для Северино в родном городе, его первым педагогом стал Джованни Баттиста (Giovani Battista), затем он продолжил получать музыкальное образование в Консерватории Академии Святой Цецилии в Риме.
Оттачивая своё флейтовое мастерство, Гаццеллони уже с 12 лет начал выступать в составе различных оркестров, работал под управлением таких дирижеров как Эрминио Макарио (Erminio Macario) и Альберто Семприни (Alberto Semprini). А в 1944 году он становится солистом национального Оркестра Итальянского радио и телевидения (RAI National Symphony Orchestra) и занимает данную позицию более 30 лет.
Помимо оркестровой работы, Северино Гаццеллони создавал собственные проекты — в 1967 году вместе с пианистом Гвидо Агости (Guido Agosti) и виолончелистом Энрико Майнарди (Enrico Mainardi) организовал трио, делал записи с Сальваторе Аккардо (Salvatore Accardo), Хайнцем Холлигером (Heinz Holliger), итальянским камерным оркестром «I Musici». В течение нескольких десятилетий Гаццеллони побывал на гастролях в большом количестве стран, выступая с составе различных оркестров.
Северино исполнял не только музыку композиторов барокко, но также и современные композиции — специально для Гаццеллони создавали произведения такие композиторы как Лучано Берио (Luciano Berio), Пьер Булез (Pierre Boulez), Игорь Стравинский (Igor Stravinsky) и Бруно Мадерна (Bruno Maderna), который впоследствии пригласил Северино в Германию для участия в семинарах «Международные летние курсы новой музыки».
Северино Гаццеллони вёл активную педагогическую деятельность — его уроки проходили в Академии Святой Цецилии и в Академии Киджи в Сиене. Среди его учеников — знаменитый канадский флейтист Роберт Эйткен (Robert Aitken), голландская флейтистка Эбби де Квант (Abbie de Quant), джазовый музыкант Эрик Дольфи (Eric Dolphy), который назвал в честь своего учителя композицию, вошедшую в альбом «Out to Lunch!», и многие другие.
Маэстро умер в 1992 году, в его честь в родном городе Гаццеллони ежегодно проходит музыкальный фестиваль.