Максим является одним из основателей Духового квинтета РНО, завоевавшего в 2005 году Гран-при V Международного конкурса в Осаке (Япония).
Максим Рубцов родился в Брянске в 1977 году. В пять лет он начал обучаться игре на фортепиано и блокфлейте, с семи лет — танцам, участвовал в постановках Игоря Моисеева. В 14 лет он переехал в Москву для продолжения музыкального образования и через год поступил в Колледж им. Гнесиных — класс Николая Ивановича Кондрашова, в 1996 году — в Московскую Государственную Консерваторию им. Чайковского и в 2001 году аспирантуру МГК — класс профессора Юрия Николаевича Должикова.
В составе РНО Максим Рубцов с 1999 года, уже в 2000 г. он начал выступать в качестве первой флейты, став самым молодым музыкантом в этой должности за все время существования оркестра.
Максиму удается объединять свои таланты в самых неожиданных постановках, включая выступление в качестве флейтиста-танцора в знаменитом театре Alvin Alley в Нью-Йорке.
В 2002 году Максим Рубцов занимал должность flutist inresidence в Симфоническом оркестре Сан-Франциско, руководимом Майклом Тилсоном Томасом.
Один из бенефисов Максима Рубцова состоялся в 2004 году на премьере «Повелителя крыс» оскароносного Джона Корильяно. Сам композитор сказал: «Максим — идеальный Крысолов. В нем есть очарование и драйв, которыми должен обладать великий исполнитель. Благодаря его внешности кинозвезды, его харизме, завораживающему мастерству и умению воплотить любой образ перед зрителями оживает тот самый легендарный музыкант».
В 2007 году совместно с дирижером Владимиром Юровским Максим исполнил Концерт Моцарта для флейты и оркестра соль мажор. «Максим — человек, который может появиться на любой сцене мира и создать атмосферу абсолютной гармонии своей музыкой и своей личностью», — отозвался о флейтисте дирижер.
В декабре 2007 года в Майами состоялся сольный дебют Максима Рубцова с пианисткой Валентиной Лисицей, представленный компанией Friends of Chamber Music. Издание Miami Herald признало игру музыканта «поистине безукоризненной», отметив, что «он обладает выдающейся техникой».
В 2009 году Максим выступил с сольной программой русской музыки под аккомпанемент американской пианистки Памелы Пеник (Pamela Penick). Отрывки из этого концерта, презентованного University of Alabama Celebrity Series (Звездная Серия Университета Алабамы), транслировались 245 публичными радиостанциями на всей территории США.
В 2012 году Максим записал композицию Джона Корильяно на знаменитой студии Джорджа Лукаса Skywalker Sound в Калифорнии.
В 2013 году исполнил партию флейты в детском мюзикле Криса Брубека «Кошки Эрмитажа». Премьера мюзикла состоялась в США и России. В 2012 году с Квартетом братьев Брубек Максим совершил турне по России, исполняя джаз и классические композиции в честь великого Дэйва Брубека.
Максим исполнил множество сольных партий вместе с РНО на лейблах Deutsche Grammophon и PentaTone Classics. Сольный альбом Максима Рубцова «Русский Романс» (Russian Romance) 2009 года был переиздан в 2013 году.
Дирижер Теодор Курентзис отзывается о музыканте так: «Максим очень артистичный, трепетно относится к каждой ноте. Он умеет делать настоящий „грув“ и рассказывать истории на инструменте, и люди слушают его, затаив дыхание».
Сольная и педагогическая карьера Максима Рубцова включает в себя работу в консерваториях, университетах и музыкальных школах США, Великобритании, Китая, Бразилии, Сингапура, ОАЭ и России.
К числу достижений музыканта относится преподавание в Оркестровой Академии New World Symphony в Майами.
С 2018 года обладатель титула «Артист Yamaha».
14 февраля 2018 г. состоялся сольный концерт Максима на сцене Карнеги-холла в Нью-Йорке. Художественный руководитель РНО Михаил Плетнёв специально для этого выступления сочинил «Скерцо» для флейты и фортепиано.
В 2020 г. Максиму присвоено звание «Заслуженный артист Российской Федерации».
Максим является автором собственной, основанной на опыте и мастерстве, методики обучения, с успехом реализованной в Музыкальной Академии Юрия Башмета и Образовательном Центре «Сириус».