Родился в семье кузнеца. Воспитанием будущего музыканта занимался его дядя Юстус Кванц, который был городским музыкантом в Мерзебурге. Иоганн Иоахим Кванц обучался также у органиста Иоганна Фридриха Кизеветтера, а после смерти дяди продолжил обучение у его преемника Иоганна Фляйшхака. В 1714 г. Кванц поступил на обучение в городской театр Пирны, где обучался игре на флейте, гобое, трубе. В 1716 г. получил место флейтиста и гобоиста в оркестре городской капеллы Дрездена. Обучался композиции у Яна Зеленки и Иоганна Фукса в Вене, брал уроки у флейтиста Пьера Габриеля Бюффардена.
В 1718 г. в качестве гобоиста перешёл в придворный оркестр Августа II, в составе которого совершал частые поездки в Польшу. С 1724 по 1726 гг. он путешествовал по Италии, где обучался контрапункту в Риме, встретился с Алессандро Скарлатти, певцом-кастратом Фаринелли (Карло Броски), слушал Антонио Вивальди. Затем отправился в Лондон и Париж, где познакомился с флейтистом, композитором и видным масоном Жаком-Кристофом Нодо.
В 1728 г. Иоганн Иоахим Кванц стал флейтистом в придворной капелле Саксонии, в Дрездене и познакомился с принцем Фридрихом, которому начал давать уроки игры на флейте. После коронации Фридриха королём Пруссии в 1741 г. Иоганн Иоахим стал придворным композитором и оставался им до конца жизни.
Ежедневно он давал уроки игры на флейте королю, управлял придворным оркестром, сочинял музыку, изготавливал инструменты по собственным эскизам. В период с 1738 по 1768 гг. при дворе также служил клавесинистом один из сыновей И.С. Баха — композитор Карл Филипп Эммануил Бах. Кванц познакомился с И.С. Бахом во время его визита к сыну в 1747 г.
Иоганн Иоахим Кванц — автор более 200 сонат для флейты, 300 концертов для флейты, 45 трио-сонат, флейтовых дуэтов, трио, квартетов. Он написал трактат «Опыт наставления по игре на поперечной флейте» (Берлин, 1752) — фундаментальное руководство по исполнению музыки барокко. Им написана автобиография (опубликована В. Марпургом), в которой он описывает состояние музыки в Германии в его время.
Кванц ввёл нововведение в строение поперечной флейты — добавил кольца, которые удлиняли, или укорачивали инструмент. С их помощью можно было по-разному подстраивать флейту. Он также добавил к инструменту дополнительный клапан ми-бемоль, который отличался по строю от клапана ре-диез. Кванц был приверженцем не темперированного строя инструмента.