Позднее учился в классе профессора, Народного артиста РФ А.Л. Гофмана в Московской средней специальной музыкальной школе (колледже) им. Гнесиных, в Российской академии музыки им. Гнесиных и в исполнительской аспирантуре при Российской академии музыки им. Гнесиных.
Алексей неоднократно становился лауреатом международных и российских конкурсов флейтистов:
2004 — Лауреат международного конкурса «Классическое наследие» им. И.Ф. Пушечникова;
2006 г. — Гран-при на Международном Конкурсе-Фестивале «Музыка без границ» в номинации «Камерный ансамбль» (Литва);
2007 — Золотая медаль на Шестых молодежных Дельфийских играх России «Великие даты. Великие люди» (Ярославль);
2007 — Лауреат Первого Международного конкурса флейтистов имени В. Цыбина;
2012 — Специальный приз за лучшее исполнение обязательного произведения на Четвертом Международном конкурсе Московской консерватории для исполнителей на духовых и ударных инструментах;
2014 — Лауреат Международного конкурса флейтистов «Unisa competition» в ЮАР.
Музыкант принимает участие в многочисленных фестивалях и мастер-классах таких профессоров как У. Беннет (Великобритания), Д. Голуэй (Швейцария), Р. Грейсс-Армин (Германия), Ф. Ренггли (Швейцария), А. Адорьян (Германия) и др. В составе оркестра и как концертирующий исполнитель выступал в Австрии, Бельгии, Люксембурге, Великобритании, США, Италии, Финляндии, Словении, в городах России и СНГ.
С 2007 по 2010 А. Морозов являлся солистом Российского государственного симфонического оркестра кинематографии под управлением Сергея Скрипки. С 2010 года и по настоящее время он занимает позицию второго солиста группы флейт Московского государственного академического симфонического оркестра под управлением Павла Когана.