Окончил ДМШ при МГУМИ им. Шопена по классу флейты Заслуженного артиста России А.Н. Мнускина. В 2004 г. окончил МССМШ им. Гнесиных в классе профессора, Народного артиста России А.Л. Гофмана. В 2009 г. окончил РАМ им. Гнесиных и в 2012 г. исполнительскую аспирантуру в классе А.Л. Гофмана.
С 2007 по 2010 гг. — солист Российского Государственного симфонического оркестра кинематографии. С 2010 г. по настоящее время — солист Московского Государственного Академического симфонического оркестра. Алексей принимал участие в многочисленных фестивалях и мастер-классах таких профессоров как Уильям Беннет (Великобритания), Джеймс Голуэй (Швейцария), Рената Грейсс-Армин (Германия), Феликс Ренггли (Швейцария), Андраш Адорьян (Германия) и др. Неоднократно гастролировал в Великобритании, США, Италии, Испании, Финляндии, Люксембурге, в городах России и СНГ. Является участником программ Санкт-Петербургского Дома музыки, выступает с сольными концертами в таких странах как Австрия, Чехия, Словения, Вьетнам, Эфиопия, Бангладеш, Мьянма, Конго и др. С 2021 г. регулярный участник фестиваля «Виртуозы флейты» в Мариинском театре г. Санкт-Петербурга.
Преподавательскую карьеру Алексей начал в 2005 году. Работал в ДМШ им. В.П. Соловьева-Седого, ДМШ им. Э. Грига, ДМШ им. М.М. Ипполитова-Иванова. С 2022 г. преподает в Музыкальном училище им. Гнесиных РАМ им. Гнесиных. С 2024 г. в Московском Государственном Колледже музыкального искусства им. Ф. Шопена.
Алексей Морозов является постоянным преподавателем и наставником творческих школ:
Образовательная программа в Сириус (Сочи), «Классика над морем» (Сочи), «Дыши, играй, мечтай» (г. Темрюк, Краснодарский край), Краевая осенняя творческая школа «Исследуй, твори, побеждай» (Красноярск). В
Как исполнитель солист и ансамблист лауреат следующих Всероссийских и международных конкурсов:
2020 — Победитель III Всероссийского Музыкального конкурса в составе Квинтета деревянных духовых инструментов «Modern Woodwind Ensemble»
2014 — Лауреат Международного конкурса флейтистов «Unisa Competition» в ЮАР
2012 — Специальный приз за лучшее исполнение обязательного произведения на Четвертом Международном конкурсе Московской консерватории.
2008 — Диплом «За яркую исполнительскую индивидуальность» как педагог-исполнитель на городском конкурсе «Московские мастера».
2007 — Золотая медаль на Шестых Молодежных Дельфийских играх России (Ярославль).
— Лауреат Первого Международного конкурса флейтистов имени В. Цыбина.
2006 — Гран-при на Международном конкурсе камерных ансамблей «Музыка без границ» (Литва).
2004 — Лауреат международного конкурса «Классическое наследие» им. И.Ф. Пушечникова.