Продолжатель традиций русской флейтовой школы, выпускник Центральной музыкальной школы при Московской Государственной Консерватории им. Чайковского по классу флейты профессора Ю.Н. Должикова, в 1985 году с отличием закончил Московскую государственную консерваторию и аспирантуру у профессоров Ю.Н. Должикова и А.М. Голышева.
Участвовал в мастер-классах Ивана Монигетти, Александра Голицкого, Франца Хельмерсона и других.
С 1993 года — солист-концертмейстер группы флейт в оркестре «Молодая Россия», с 2002 года — солист и концертмейстер группы деревянных духовых инструментов в Государственном симфоническом оркестре «Новая Россия» под управлением Юрия Башмета.
Активно концертирует с сольными и ансамблевыми программами. За время работы в коллективе Александр Плисковский неоднократно выезжал на гастроли во многие страны мира, участвовал в многочисленных фестивалях и конкурсах, сотрудничал с выдающимися солистами и дирижерами, а также участвовал в записях на телевидении и радио. Ведущий исполнитель абонемента «Солисты оркестра — наша гордость».
Успешно занимается педагогической деятельностью, проводит мастер-классы в России и за рубежом. Преподаватель мастер-классов в рамках Общероссийского проекта «Юрий Башмет — молодым дарованиям России».
Награжден Почетной грамотой Министерства культуры Российской Федерации за большой вклад в развитие русской культуры.